每日一题[2082]线段投射

设 $F$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}3+y^2=1$ 的左焦点，过点 $F$ 且斜率为正的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A,B$ 两点，过点 $A,B$ 分别作直线 $AM$ 和 $BN$ 满足 $AM\perp l$，$BN\perp l$，且直线 $AM,BN$ 分别与 $x$ 轴相交于点 $M$ 和 $N$，试求 $|MN|$ 的最小值．

答案      $\sqrt 6$．

解析    设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，则根据椭圆的焦点弦长公式，有

$$\begin{split} |MN|&=\dfrac{|AB|}{\cos\theta}\\ &=\dfrac{2\sqrt 3}{(3-2\cos^2\theta)\cos\theta}\\ &=\dfrac{4\sqrt 3}{\sqrt{(3-2\cos^2\theta)^2\cdot 4\cos^2\theta}}\\ &\geqslant \dfrac{4\sqrt 3}{\sqrt{\left(\dfrac 63\right)^3}}=\sqrt 6,\end{split}$$ 等号当 $3-2\cos^2\theta=4\cos^2\theta$ 即 $\theta=\dfrac{\pi}4$ 时取得，因此所求 $|MN|$ 的最小值为 $\sqrt 6$．