每日一题[2065]缺斤短两

已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[\pi]=3$，$[-\pi]=-4$ 等，则

$$\left[\dfrac{2^0}3\right]+\left[\dfrac {2^1}{3}\right]+\left[\dfrac{2^2}{3}\right]+\cdots+\left[\dfrac{2^{2020}}3\right]$$ 的值是_______．

答案    $\dfrac{2^{2021}-3032}3$．

解析    由于 $2^n\equiv (-1)^n\pmod 3$，于是

$$\left[\dfrac{2^n}{3}\right]=\begin{cases} \dfrac{2^n-1}{3},&n\text{ 是偶数},\\ \dfrac{2^n-2}3,&n\text{ 是奇数},\end{cases}$$ 设原式为 $m$，则 $$m=\dfrac{\left(2^0+2^1+2^2+\cdots+2^{2020}\right)-1-2-1-\cdots-1}{3}=\dfrac{2^{2021}-3032}3.$$

练习    记 $[x]$ 为不超过实数 $x$ 的最大整数．若

$$A=\left[\dfrac 78\right]+\left[\dfrac{7^2}8\right]+\cdots+\left[\dfrac{7^{2019}}{8}\right]+\left[\dfrac{7^{2020}}{8}\right],$$ 则 $A$ 除以 $50$ 的余数为_______．