每日一题[2059]公共点集

已知平面向量 $\overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \overrightarrow{b_{1}}, \overrightarrow{b_{2}}, \dots \overrightarrow{b_{k}}$（$k \in \mathbb{N}^{*}$）是平面内两两互不相等的向量，$\left|\overrightarrow{a_{1}}-\overrightarrow{a_{2}}\right|=1$，且对任意的 $i=1,2$ 及 $j=1,2, \dots, k$，$\left|\overrightarrow{a}_{i}-\overrightarrow{b_{j}}\right| \in\{1,2\}$，则 $k$ 最大值为_______．

答案    $6$．

解析    设 $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}$ 分别为 $\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2}$，$\overrightarrow{b_j}$ 分别为 $\overrightarrow{OB_j}$（$j=1,2,\cdots,k$），则 $|A_1A_2=1|$，且 $B_j$ 在以 $A_1$ 为圆心半径分别为 $1,2$ 的双圆 $\Gamma_1$ 与以 $A_2$ 为圆心半径分别为 $1,2$ 的双圆 $\Gamma_2$ 的公共点集中，因此 $k$ 的最大值为 $6$．