每日一题[2045]绝对值的天敌

已知数列 $A:a_0,a_1,a_2,\cdots,a_{20}$ 满足 $a_0=0$，$|a_i|=|a_{i-1}+1|$（$i=1,2,\cdots,20$），则（       ）

A．存在数列 $A$，使得 $|a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{20}|=0$

B．存在数列 $A$，使得 $|a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{20}|=2$

C．存在数列 $A$，使得 $|a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{20}|=10$

D．存在数列 $A$，使得 $|a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{20}|=12$

答案    BC．

解析    根据题意，有

$$a_i^2=a_{i-1}^2+2a_{i-1}+1\iff a_i^2-a_{i-1}^2=2a_{i-1}+1,$$ 取 $i=1,2,\cdots,21$ 可得 $$2(a_0+a_1+\cdots+a_{20})+21=a_{21}^2-a_0^2,$$ 因此 $$|a_0+a_1+\cdots+a_{20}|=\dfrac{\big|a_{21}^2-21\big|}2.$$ 而 $a_{21}$ 可以取从 $-21$ 到 $21$ 的所有奇数（可以递推证明 $a_{2n}$ 可以取 $-2n$ 到 $2n$ 的所有偶数，$a_{2n-1}$ 可以取 $-(2n-1)$ 到 $(2n-1)$ 的所有奇数），因此 $\dfrac{\big|a_{21}^2-21\big|}{2}$ 可以取 $2$（$a_{21}=5$ 时）和$10$（$a_{21}=1$时），无法取得 $0,12$．