每日一题[2044]因式分解

已知实数 $a,b$ 满足 $a^3+b^3+3ab=1$，则 $a+b$ 的所有可能取值为_______．

答案    $-2,1$．

解析    题中条件即\[a^3+b^3+(-1)^3-3\cdot a\cdot b\cdot (-1)=0,\]也即\[\dfrac12(a+b+c)\big((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\big)=0,\]其中 $c=-1$．从而 $a+b=1$ 或 $a=b=-1$．因此 $a+b$ 的取值集合为 $\{-2,1\}$．