每日一题[2041]绝对值函数

设实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{21}$ 满足 $0\leqslant x_i\leqslant 1$（$i=1,2,\cdots,21$），则 $\displaystyle\sum_{i=1}^{21}\sum_{k=1}^{21}|x_i-x_k|$ 的最大值为_______．

答案    $220$．

解析    根据题意，有

$$\sum_{i=1}^{21}\sum_{k=1}^{21}|x_i-x_k|=2\sum_{1\leqslant i<k\leqslant 21}|x_i-x_k|,$$ 其视为关于 $x_1$ 的函数 $f(x_1)$，有 $$f(x_1)=2|x_1-x_2|+2|x_1-x_3|+\cdots+2|x_1-x_{21}|+\cdots,$$ 这是一个绝对值函数，且每个分界点处斜率均增加 $4$，因此 $f(x_1)$ 的最大值在 $x_1=0$ 或 $x_1=1$ 处取得．类似可得 $x_i\in \{0,1\}$，$i=1,2,\cdots,21$．设 $x_1,x_2,\cdots,x_{21}$ 中有 $n$ 个 $1$，则题中代数式为 $2(21-n)n$，因此当 $n=10$ 或 $n=11$ 时，题中代数式取得最大值 $220$．