每日一题[2040]不动点

已知实数 $x,y,z$ 满足 $\begin{cases} \dfrac 19x^3-\dfrac 13y^2-y=1,\\ \dfrac 19y^3-\dfrac13z^2-z=1,\\ \dfrac 19z^3-\dfrac 13x^2-x=1,\end{cases}$ 则（       ）

 A．$(x,y,z)$ 只有 $1$ 组

B．$(x,y,z)$ 有 $4$ 组

C．$x,y,z$ 均为有理数

D．$x,y,z$ 均为无理数

答案    AD．

解析    令 $(x,y,z)=(3a,3b,3c)$，则

$$a^3-b^2-b=b^3-c^2-c=c^3-a^2-a=\dfrac 13,$$ 即 $$\begin{cases} a=f(b),\\ b=f(c),\\ c=f(a),\end{cases}$$ 其中 $f(x)=\sqrt[3]{x^2+x+\dfrac13}$，因此 $a,b,c>0$．而 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，而 $$a=f(b)=f(f(c))=f(f(f(a)))\implies a=f(a),$$ 因此 $a,b,c$ 均为 $f(x)$ 的不动点，解方程 $f(x)=x$，可得 $$x^3-x^2-x-\dfrac13=0,$$ 设左侧为函数 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1),$$ 因此 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 先单调递减再单调递增，又 $g(0)<0$，因此 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有唯一零点．易知该零点不为有理数，因此选项 $\boxed{A}$ $\boxed{D}$ 正确．