每日一题[2038]参数与三角

已知 $A,B$ 分别为双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 的左、右顶点，$P$ 为该曲线上不同于 $A,B$ 的任意一点．设 $\angle PAB=\alpha$，$\angle PBA=\beta$，$\triangle PAB$ 的面积为 $S$，则（       ）

A．$\tan\alpha\cdot \tan\beta$ 为定值

B．$\tan\dfrac{\alpha}2\cdot \tan\dfrac{\beta}2$ 为定值

C．$S\cdot \tan(\alpha+\beta)$ 为定值

D．$S\cdot \cot(\alpha+\beta)$ 为定值

答案    AC

解析    不妨设 $P\left(\dfrac{2}{\cos\theta},\tan\theta\right)$，$\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则

$$\begin{split} \tan\alpha&=\dfrac{\tan\theta}{\dfrac2{\cos\theta}-(-2)}=\dfrac{\sin\theta}{2(1+\cos\theta)},\\ \tan\beta&=-\dfrac{\tan\theta}{\dfrac2{\cos\theta}-2}=-\dfrac{\sin\theta}{2(1-\cos\theta)},\\ S&=\dfrac 12\cdot |AB|\cdot \tan\theta=2\tan\theta,\end{split}$$ 因此 $$\tan\alpha=\dfrac 12t,\quad \tan\beta=-\dfrac 1{2t},\quad S=\dfrac{4t}{1-t^2},$$ 其中 $t=\tan\dfrac{\theta}2$．

选项 $\boxed{A}$     $\tan\alpha\tan\beta=-\dfrac 14$ 为定值．

选项 $\boxed{B}$    由于

$$\tan\alpha\tan\beta=\dfrac{4\tan\dfrac{\alpha}2\tan\dfrac{\beta}2}{1-\left(\tan\dfrac{\alpha}2+\tan\dfrac{\beta}2\right)+\tan^2\dfrac{\alpha}2\tan^2\dfrac{\beta}2},$$ 因此若 $\tan\dfrac{\alpha}2\tan\dfrac{\beta}2$ 为定值，则 $\tan\dfrac{\alpha}2+\tan\dfrac{\beta}2$ 为定值，从而 $\tan\dfrac{\alpha}2$ 和 $\tan\dfrac{\beta}2$ 是确定的值，矛盾．

选项 $\boxed{C}$ $\boxed{D}$    有

$$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\dfrac 12t-\dfrac1{2t}}{1+\dfrac 12t\cdot \dfrac{1}{2t}}=-\dfrac{2(1-t^2)}{5t},$$ 因此 $S\cdot\tan(\alpha+\beta)$ 是定值，$S\cdot \cot(\alpha+\beta)$ 不是定值．