每日一题[2010]桥

已知函数 $f(x)=\sin^2x\cdot \sin 2x$．

1、讨论 $f(x)$ 在区间 $(0,\pi)$ 内的单调性．

2、证明：$|f(x)|\leqslant \dfrac{3\sqrt 3}8$．

3、设 $n\in\mathbb N^{\ast}$，证明：$\sin ^2x\sin^2(2x)\sin^2(4x)\cdots\sin^2(2^nx)\leqslant \dfrac{3^n}{4^n}$．

解析

1、题中函数即 $f(x)=2\sin^3x\cos x$，其导函数

$$f'(x)=2\sin x\sin 3x,$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}3\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{2\pi}3\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{2\pi}3,\pi\right)$ 上单调递增．

2、注意到函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数，且关于点 $\left(\dfrac{\pi}2,0\right)$ 对称，因此只需要证明在 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$ 上的情形．根据第 $(1)$ 小题的结果，函数 $|f(x)|$ 在区间 $\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$ 上的最大值在 $x=\dfrac{\pi}3$ 处取得，而

$$f\left(\dfrac{\pi}3\right)=2\sin^3\dfrac{\pi}3\cos\dfrac{\pi}3=\dfrac{3\sqrt 3}8,$$ 因此命题成立．

3、根据第 $(2)$ 小题的结果，有

$$\begin{cases} |\sin^2x\cdot \sin (2x)|\leqslant \dfrac{3\sqrt 3}8,\\ |\sin^2(2x)\cdot \sin (4x)|\leqslant \dfrac{3\sqrt 3}8,\\ \cdots,\\ |\sin^2(2^{n-1}x)\cdot \sin (2^nx)|\leqslant \dfrac{3\sqrt 3}8,\\ \end{cases}$$ 各式相乘可得 $$|\sin^2x\sin^3(2x)\sin^3(4x)\cdots \sin^3(2^{n-1}x)\sin(2^nx)|\leqslant \left(\dfrac{3\sqrt 3}8\right)^n,$$ 即 $$\left|\sin^{\frac 43}x\sin^2(2x)\sin^2(4x)\cdots\sin^2(2^{n-1}x)\sin^{\frac 23}(2^nx)\right|\leqslant \dfrac{3^n}{4^n},$$ 事实上，有 $\sin^2x\leqslant \sin^{\frac 43}x$，$\sin^2(2^nx)\leqslant \sin^{\frac 23}(2^nx)$，于是 $$\sin ^2x\sin^2(2x)\sin^2(4x)\cdots\sin^2(2^nx)\leqslant \left|\sin^{\frac 43}x\sin^2(2x)\sin^2(4x)\cdots\sin^2(2^{n-1}x)\sin^{\frac 23}(2^nx)\right|,$$ 因此命题得证．