每日一题[2006]相信直觉

$0\text{ - }1$ 周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列 $a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \cdots$ 满足 $a_{i} \in\{0,1\}$（$i=1,2, \cdots$），且存在正整数 $m$，使得 $a_{i+m}=a_{i}$（$i=1,2, \cdots$）成立，则称其为 $0\text{ - }1$ 周期序列，并称满足 $a_{i+m}=a_i$（$i=1,2,\cdots$）的最小正整数 $m$ 为这个序列的周期．对于周期为 $m$ 的 $0\text{ - }1$ 序列 $a_1a_2\cdots a_n\cdots$，$C(k)=\displaystyle\dfrac 1m\sum_{i=1}^ma_ia_{i+k}$（$k=1,2,\cdots,m-1$）是描述其性质的重要指标．下列周期为 $5$ 的 $0\text{ - }1$ 序列中，满足 $C(k)\leqslant \dfrac 15$（$k=1,2,3,4$）的序列是[[nn]]．

A．$11010 \cdots$

B．$11011 \cdots$

C．$10001 \cdots$

D．$11001\cdots$

答案    C．

解析    直觉上 $0\text{ - }1$ 序列中的 $0$ 越多，对 $C(k)\leqslant \dfrac 15$ 成立越有利．首先从选项 $\boxed{C}$ 开始验证，有

$$\begin{array}{c|cccc}\hline k&1&2&3&4\\ \hline C(k)&1&0&0&1\\ \hline\end{array}$$ 符合题意．选项 $\boxed{A}$ 中，$C(2)=2$；选项 $\boxed{B}$ 中，$C(1)=3$；选项 $\boxed{D}$ 中，$C(1)=2$，均不符合题意．