每日一题[1985]几何计算

已知锐角非等边 $\triangle ABC$ 的外接圆为 $\omega$, 过点 $B,C$ 作 $\omega$ 的切线相交于点 $T$, $T$ 在 $AB, AC$ 上的投影分别为 $X, Y$. 若 $BT=CT=16$, $BC=22$, 且 $TX^2+TY^2+XY^2=1143$, 则 $XY^2=$ _______.

答案    $717$．

解析    取 $BC$ 的中点 $M$, 则 $\angle TXB=\angle TMB=90^\circ$, 于是 $B,X,T,M$ 四点共圆, 进而

$$\angle MXB=\angle MTB=90^\circ-\angle MBT=90^\circ-\angle A,$$ 于是 $XM\perp AC$. 类似的, 有 $YM\perp AB$, 从而 $M$ 是 $\triangle AXY$ 的垂心. 因此四边形 $MXTY$ 是平行四边形, 进而有 $$TM^2+XY^2=2(TX^2+TY^2),$$ 于是 $$TB^2-BM^2+XY^2=2(TX^2+TY^2)\implies XY^2\dfrac 13(2\cdot 1143-135)=717.$$