每日一题[1980]不定方程

满足 $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}$ 模 $n+5$ 余 $17$ 的所有正整数 $n$ 的和为_______.

答案    $239$．

解析    根据题意, 有 $$1^3+2^3+\cdots+n^3=\dfrac 14n^2(n+1)^2=(n+5)\cdot m+17,$$ 其中 $m\in\mathbb Z$. 于是 $$n^2(n+1)^2=4m(n+5)+68,$$ 因此 $$n^2(n+1)^2\equiv 68\pmod{n+5},$$ 从而 $$(-5) ^2\cdot (-4) ^2\equiv 68\pmod{n+5}\iff 400\equiv 68\pmod{n+5},$$ 由于 $400-68=332=2^2\cdot 83$, 且 $n+5\geqslant 18$, 于是 $n=78,161,327$, 检验可得 $n=78,151$ 时符合题意, 当 $n=327$ 时, 余数为 $100$ 不符合题意, 因此所求和为 $78+151=239$.