每日一题[1977]几何体的接切

两个全等的圆锥底面半径为 $3$, 高为 $8$. 这两个圆锥的对称轴垂直相交于两个圆锥内部一点, 且距各自底面距离均为 $3$. 这两个圆锥公共部分中有半径为 $r$ 的球, $r^2$ 的最大值的最简分数形式为 $\dfrac mn$, 则 $m+n=$ _______.

答案    $298$．

解析  根据题意, 当球与两个圆锥的侧面都相切时半径最大, 如图.

半径的最大值

$$PM=\dfrac{OA\cdot PC}{AC}=\dfrac{OA\cdot (OC-OA)}{AC}=\dfrac{3\cdot \left(8-3\right)}{\sqrt{3^2+8^2}}=\dfrac{15}{\sqrt {73}},$$ 于是 $r^2$ 的最大值为 $\dfrac{225}{73}$, $m+n=225+73=298$.