已知函数 f(x)=ax+|ln(x−b)|a+1(x>b,a,b>0).
1、求函数 f(x) 的最小值.
2、若数列 {xn} 满足 xn+1=|ln(xn−12)|+1√e,且对任意正整数 n,xn≠12,求证:x1+x2+⋯+x2021⩾.
解析
1、考虑函数 g(x)=(a+1)f\left(\dfrac xa+b\right)-ab,即 g(x)=x+|\ln x-\ln a|,也即g(x)=\begin{cases} x-\ln x+\ln a,&0<x<a,\\ x+\ln x-\ln a,&x\geqslant a,\end{cases}考虑到(x-\ln x+\ln a)'=1-\dfrac 1x,于是当 0<a\leqslant 1 时,g(x) 的最小值 g(a)=a;当 a> 1 时,g(x) 的最小值为 g(1)=1+\ln a,进而可得 f(x) 的最小值为\begin{cases} \dfrac{a+ab}{a+1},&a\in(0,1],\\ \dfrac{ab+1+\ln a}{a+1},&a\in(1,+\infty).\end{cases}
2、设迭代函数 f(x)=\left|\ln\left(x-\dfrac 12\right)\right|+\dfrac{1}{\sqrt {\rm e}},则 f(x) 的不动点为 x_0=\dfrac 12+\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}.考虑证明当 x_k<x_0 时,有 x_{k+1}+x_k>2x_0.即当 x\in \left(0,x_0\right) 时,有x+f(x)>1+\dfrac{2}{\sqrt{\rm e}}\iff x-\ln\left(x-\dfrac 12\right)>1+\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}},考虑到左侧函数在 (0,x_0) 上单调递减,因此该不等式成立. 此时考虑将 x_1,x_2,\cdots,x_{2020} 中的小于 x_0 的项 x_i 挑选出来与其后一项 x_{i+1} 配对,将这两项改写为 x_0,x_0 放回去,那么新数列的所有项之和不小于原数列,且前 2020 项中的每一项均不小于 x_0,因此命题得证.