每日一题[1958]极坐标与齐次化

已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，椭圆上的两点 $M,N$（非椭圆顶点）满足 $\angle MON=90^\circ$ 且 $\dfrac{1}{|OM|^2}+\dfrac{1}{|ON|^2}=\dfrac 32$． 

1、求椭圆方程．

2、不平行于 $y$ 轴的直线与椭圆交于 $P,Q$ 两点，$F$ 为椭圆的右焦点，直线 $PF$ 与 $QF$ 的斜率互为相反数时，直线 $PQ$ 是否过定点？若过，求出该定点；若不过，请说明理由．

解析

1、不妨设 $M(\theta:r_1)$，$N\left(\theta+\dfrac{\pi}2:r_2\right)$ 则 $$\begin{cases} \dfrac{r_1^2\cos^2\theta}{a^2}+\dfrac{r_1^2\sin^2\theta}{b^2}=1,\\ \dfrac{r_2^2\cos^2\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)}{a^2}+\dfrac{r_2^2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)}{b^2}=1,\\ \dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac1{r_2^2}=\dfrac 32,\end{cases}\implies \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac 32,$$ 结合离心率 $e=\dfrac{\sqrt 2}2$，可得 $a^2=2b^2$，从而所求椭圆方程为 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$．

2、根据题意，有 $F(1,0)$，平移坐标系，使得 $F$ 为新坐标系原点，则椭圆方程变为 $$\dfrac{(x'+1)^2}{2}+y'^2=1\iff x'^2+2y'^2+2x'-1=0,$$ 设此时直线 $P'Q'$ 的方程为 $mx'+ny'=1$（$n\ne 0$），那么联立可得 $$x'^2+2y'^2+2x'(mx'+ny')-(mx'+ny')^2=0,$$ 即 $$(2-n^2)\left(\dfrac{y'}{x'}\right)^2+2n(1-m)\cdot \dfrac{y'}{x'}+(1+2m-m^2)=0,$$ 直线 $P'F'$ 与 $Q'F'$ 的斜率之和为 $0$，于是 $m=1$，于是直线 $P'Q'$ 恒过点 $R'(1,0)$，也即原坐标系下的 $(2,0)$．