每日一题[1938]递推公式

已知无穷数列 {an} 的各项均为正整数,Sn 为数列 {an} 的前 n 项和. 若数列 {an} 是等差数列,且对任意正整数 n 都有 Sn2=(Sn)2 成立,

1、求数列 {an} 的通项.

2、若数列 {an} 的各项互不相等,其前 n 项构成集合 {a1,a2,,an},定义 an=(a1,a2,,an)V={(b1,b2,,bn)bi{1,0,1},i=1,2,,n},

b=(b1,b2,,bn)bV,定义anb=a1b1+a2b2++anbn,
在此基础上,定义 {a1,a2,,an} 的扩充集Γn={xx=anb,bV,xN},
且对于任意 m,nVmn,只要 anm,annN,就有 anmann,且 anb=0 等价于 b=(0,0,,0).若 Γn={1,2,,Sn},求数列 {an} 的通项公式.

解析

1、设 Sn=αn2+βn,则αn4+βn2=(αn2+βn)2{α=α2,0=2αβ,β=β2,

于是 (α,β)=(0,1),(1,0),从而 an=1an=2n1nN

2、考虑 Γn+1,则那么Γn+1=Γn{x+an+1xΓn}{|xan+1|xΓn}{an+1},

其元素个数Sn+1=3Sn+1Sn+1+12=3(Sn+12),
结合 S1=a1=1,可得 Sn=3n12,进而 an=3n1nN).

备注    可以利用三进制来理解 {an} 符合要求,此时前 n 项为1,10,100,1000,,100n1,

它们中若干项的和以及差(取正的),为2,11,12,101,102,110,111,112,,
这样就构成了从 1111n 的所有数.

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