已知无穷数列 {an} 的各项均为正整数,Sn 为数列 {an} 的前 n 项和. 若数列 {an} 是等差数列,且对任意正整数 n 都有 Sn2=(Sn)2 成立,
1、求数列 {an} 的通项.
2、若数列 {an} 的各项互不相等,其前 n 项构成集合 {a1,a2,⋯,an},定义 →an=(a1,a2,⋯,an) 且V={(b1,b2,⋯,bn)∣bi∈{−1,0,1},i=1,2,⋯,n},
设 →b=(b1,b2,⋯,bn) 且 →b∈V,定义→an⋅→b=a1b1+a2b2+⋯+anbn,
在此基础上,定义 {a1,a2,⋯,an} 的扩充集Γn={x∣x=→an⋅→b,→b∈V,x∈N∗},
且对于任意 →m,→n∈V 且 →m≠→n,只要 →an⋅→m,→an⋅→n∈N∗,就有 →an⋅→m≠→an⋅→n,且 →an⋅→b=0 等价于 →b=(0,0,⋯,0).若 Γn={1,2,⋯,Sn},求数列 {an} 的通项公式.
解析
1、设 Sn=αn2+βn,则αn4+βn2=(αn2+βn)2⟺{α=α2,0=2αβ,β=β2,
于是 (α,β)=(0,1),(1,0),从而 an=1 或 an=2n−1(n∈N∗)
2、考虑 Γn+1,则那么Γn+1=Γn∪{x+an+1∣x∈Γn}∪{|x−an+1|∣x∈Γn}∪{an+1},
其元素个数Sn+1=3Sn+1⟹Sn+1+12=3(Sn+12),
结合 S1=a1=1,可得 Sn=3n−12,进而 an=3n−1(n∈N∗).
备注 可以利用三进制来理解 {an} 符合要求,此时前 n 项为1,10,100,1000,⋯,10⋯0⏟n−1,
它们中若干项的和以及差(取正的),为2,11,12,101,102,110,111,112,⋯,
这样就构成了从 1 到 11⋯1⏟n 的所有数.