已知实数 $x,y$ 满足 $x(x+y)=1+2y^2$，则 $5x^2-4y^2$ 的最小值为_______．
答案 $4$．
解析 根据题意，有 $x^2+xy-2y^2=1$，于是\[5x^2-4y^2-\lambda =5x^2-4y^2-\lambda\left(x^2+xy-2y^2\right)=\left(5-\lambda\right)x^2-\lambda xy+(2\lambda-4)y^2,\]令 $\Delta=\lambda^2-4(5-\lambda)(2\lambda-4)$，解得 $\lambda =\dfrac{20}9 $ 或 $ \lambda=4 $，舍去 $ 5-\lambda<0 $ 的解，可得\[5x^2-4y^2-4=(x-2y)^2\geqslant 0,\]等号当 $ x=2y $，即 $ x=1 $，$ y=\dfrac 12 $ 时取得，因此所求最小值为 $ 4$．