每日一题[1918]引参求值

已知实数 $x,y$ 满足 $x(x+y)=1+2y^2$，则 $5x^2-4y^2$ 的最小值为_______．

答案    $4$．

解析    根据题意，有 $x^2+xy-2y^2=1$，于是

$$5x^2-4y^2-\lambda =5x^2-4y^2-\lambda\left(x^2+xy-2y^2\right)=\left(5-\lambda\right)x^2-\lambda xy+(2\lambda-4)y^2,$$ 令 $\Delta=\lambda^2-4(5-\lambda)(2\lambda-4)$，解得 $\lambda =\dfrac{20}9$ 或 $\lambda=4$，舍去 $5-\lambda<0$ 的解，可得 $$5x^2-4y^2-4=(x-2y)^2\geqslant 0,$$ 等号当 $x=2y$，即 $x=1$，$y=\dfrac 12$ 时取得，因此所求最小值为 $4$．