每日一题[1917]生成函数

复平面上的一个关于原点对称的六边形的顶点对应的复数集为

$$V=\left\{ \sqrt{2}{\rm i},-\sqrt{2}{\rm i}, \dfrac{1}{\sqrt{8}}(1+{\rm i}),\dfrac{1}{\sqrt{8}}(-1+{\rm i}),\dfrac{1}{\sqrt{8}}(1-{\rm i}),\dfrac{1}{\sqrt{8}}(-1-{\rm i}) \right\},$$ 从 $V$ 中随机选择元素 $z_j$（$1\leqslant j\leqslant 12$），且 $P$ 是这 $12$ 个数的乘积，则 $P=-1$ 的概率是（       ）

A．$\dfrac{5\cdot11}{3^{10}}$

B．$\dfrac{5^2\cdot11}{2\cdot3^{10}}$

C．$\dfrac{5\cdot11}{3^{9}}$

D．$\dfrac{5\cdot7\cdot11}{2\cdot3^{10}}$

E．$\dfrac{2^2\cdot5\cdot11}{3^{10}}$

答案    E．

解析    设 $\varepsilon=\left(\dfrac{\pi}4:1\right)$，则

$$V=\left\{\dfrac 12\varepsilon,\sqrt 2\varepsilon^2,\dfrac 12\varepsilon^5,\sqrt 2\varepsilon^6,\dfrac 12\varepsilon^7\right\},$$ 若使 $P=-1$，则 $12$ 个数的模之积为 $1$，且 $\varepsilon$ 的幂次模 $8$ 余 $4$．由于 $12$ 个数必然有 $8$ 个模为 $\sqrt 2$，剩下的 $4$ 个模为 $\dfrac 12$，考虑 $$f(x)=\left(x^2+x^6\right)^8\left(x+x^3+x^5+x^7\right)^4$$ 的展开式中 $x$ 的 $8k+4$（$k\in\mathbb N$）次方的项的系数之和．也即 $$g(x)=x^4\left(x^2+x^6\right)^8\left(x+x^3+x^5+x^7\right)^4$$ 的展开式中 $x$ 的 $8k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）次方的项的系数，该系数即 $$\dfrac 18\sum_{i=0}^7g\left(\varepsilon^i\right)=\dfrac 18\left(g(1)+g(-1)\right)=2^{14},$$ 因此所求概率为 $$\dfrac{\mathop{\rm C}\nolimits_{12}^4\cdot 2^{14}}{6^{12}}=\dfrac{2^2\cdot 5\cdot 11}{3^{10}}.$$