每日一题[1917]生成函数

复平面上的一个关于原点对称的六边形的顶点对应的复数集为V={2i,2i,18(1+i),18(1+i),18(1i),18(1i)},V 中随机选择元素 zj1j12),且 P 是这 12 个数的乘积,则 P=1 的概率是(       )

A.511310

B.52112310

C.51139

D.57112310

E.22511310

答案    E.

解析    设 ε=(π4:1),则V={12ε,2ε2,12ε5,2ε6,12ε7},若使 P=1,则 12 个数的模之积为 1,且 ε 的幂次模 84.由于 12 个数必然有 8 个模为 2,剩下的 4 个模为 12,考虑f(x)=(x2+x6)8(x+x3+x5+x7)4的展开式中 x8k+4kN)次方的项的系数之和.也即g(x)=x4(x2+x6)8(x+x3+x5+x7)4的展开式中 x8kkN)次方的项的系数,该系数即187i=0g(εi)=18(g(1)+g(1))=214,因此所求概率为C412214612=22511310.

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