复平面上的一个关于原点对称的六边形的顶点对应的复数集为V={√2i,−√2i,1√8(1+i),1√8(−1+i),1√8(1−i),1√8(−1−i)},从 V 中随机选择元素 zj(1⩽j⩽12),且 P 是这 12 个数的乘积,则 P=−1 的概率是( )
A.5⋅11310
B.52⋅112⋅310
C.5⋅1139
D.5⋅7⋅112⋅310
E.22⋅5⋅11310
答案 E.
解析 设 ε=(π4:1),则V={12ε,√2ε2,12ε5,√2ε6,12ε7},若使 P=−1,则 12 个数的模之积为 1,且 ε 的幂次模 8 余 4.由于 12 个数必然有 8 个模为 √2,剩下的 4 个模为 12,考虑f(x)=(x2+x6)8(x+x3+x5+x7)4的展开式中 x 的 8k+4(k∈N)次方的项的系数之和.也即g(x)=x4(x2+x6)8(x+x3+x5+x7)4的展开式中 x 的 8k(k∈N∗)次方的项的系数,该系数即187∑i=0g(εi)=18(g(1)+g(−1))=214,因此所求概率为C412⋅214612=22⋅5⋅11310.