每日一题[1916]概率递推

已知坐标平面上有顶点分别为 $(2,2),(-2,2),(-2,-2),(2,-2)$ 的正方形，一个粒子从原点 $O(0,0)$ 出发，每秒钟等可能的移动到离当前位置最近的 $8$ 个格点（横纵坐标均为整数的点）中的一个，每次移动独立．粒子第一次撞击正方形时，撞击位置是正方形的顶点（而不是边的内部）的概率为 $\dfrac mn$，其中 $m,n$ 是互质的正整数，则 $m+n=$（       ）

A．$4$

B．$5$

C．$7$

D．$15$

E．$39$

答案    E．

解析    不影响本质，将格点改为格子，设初始位置在 $P,X,Y$ 时能够符合题意的达到角落 $A$ 的概率分别为 $p,x,y$，则

$$\begin{cases} p=\dfrac 48x+\dfrac 48y,\\ x=\dfrac 18\cdot 1+\dfrac 48\cdot 0+\dfrac 28y+\dfrac 18p,\\ y=\dfrac 38\cdot 0+\dfrac 28x+\dfrac 28y+\dfrac 18p,\end{cases}\iff \begin{cases} p=\dfrac4{35},\\ x=\dfrac{11}{70},\\ y=\dfrac1{14},\end{cases}$$ 因此所求 $m+n=39$．