每日一题[1910]虚晃一枪

正方形 $ABCD$ 的边长为 $30$，点 $P$ 在正方形内，$AP=12$，$BP=26$，以 $\triangle ABP,\triangle BCP,\triangle CDP,\triangle DAP$ 的重心为顶点构成凸四边形，该四边形的面积为（       ）

A．$100\sqrt{2}$

B．$100\sqrt{3}$

C．$200$

D．$200\sqrt{2}$

E．$200\sqrt{3}$

答案    C．

解析    建立平面直角坐标系 $A-BD$，设 $P(x,y)$，则 $A(0,0)$，$B(30,0)$，$C(30,30)$，$D(0,30)$，凸四边形的四个顶点坐标分别为

$$G_1\left(\dfrac{30+x}3,\dfrac y3\right),G_2\left(\dfrac{60+x}{3},\dfrac{30+y}3\right),G_3\left(\dfrac{30+x}3,\dfrac {60+y}3\right),G_4\left(\dfrac{x}3,\dfrac{30+y}3\right),$$ 于是 $\overrightarrow{G_1G_3}=(0,20)$，$\overrightarrow{G_4G_2}=(20,0)$，因此 $G_1G_2G_3G_3$ 是对角线长为 $20$ 的正方形，面积为 $200$．

另法

如图，题中凸四边形为正方形各边中点行成的正方形中点形成的正方形，以 $P$ 为中心，$\dfrac 23$ 为缩放比例缩放而成，因此其面积为

$$\left(\dfrac 23\right)^2\cdot \left(15\sqrt 2\right)^2=200.$$