每日一题[1908]合理分类

有多少个不同的二次多项式 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的根构成的集合与系数构成的集合相同？（       ）

A．$3$

B．$4$

C．$5$

D．$6$

E．无穷多

答案    B．

解析    设 $f(x)=0$ 的两个根为 $r,s$，若 $r=s$，则有 $a=b=c=r$，此时 $f(x)=r(x^2+x+1)$ 没有根，不符合题意． 不妨设 $a=r$，则根据韦达定理，有

$$f(x)=rx^2+(-r^2-rs)x+r^2s.$$ [[case]]情形一[[/case]] $r^2s=r$．此时必然有 $-r^2-rs=s$，因此 $$\begin{cases} -r^2-rs=s,\\ r^2s=r,\end{cases}\iff \begin{cases} s=\dfrac 1r,\\ r^3+r-1=0,\end{cases}$$ 该方程组有唯一无理数解． [[case]]情形二[[/case]] $r^2s=s$．此时 $s=0$ 或 $r=\pm 1$． 若 $s=0$，则 $-r^2-rs=-r^2$，得到解 $(r,s)=(-1,0)$； 若 $r=1$，则 $-r^2-rs=-1-s$，得到解 $(r,s)=\left(1,-\dfrac 12\right),\left(1,-2\right)$； 若 $r=-1$，则 $-r^2-rs=-1+s$，得到解 $(r,s)=(-1,0)$，之前已经出现过． 综上所述，符合题目的多项式共有 $4$ 个．