每日一题[1879]纸老虎

设 $x,y>0$，则 $m=\dfrac{1}{1+\sin (xy)}+\dfrac{\sin^2x+\sin^2y}{1+xy}$ 的取值范围是（       ）

A．$[1,+\infty)$

B．$(1,+\infty)$

C．$\left[\dfrac 12,+\infty\right)$

D．$\left(\dfrac 12,+\infty\right)$

答案    D．

解析    一方面，当 $xy\to \dfrac{3\pi}2$ 时，有 $m\to +\infty$；另一方面，当 $x=y=\sqrt{2n\pi+\dfrac{\pi}2}$ 且 $n\to +\infty$ 时，有 $m\to \dfrac 12$，且

$$m>\dfrac{1}{1+\sin(xy)}\geqslant \dfrac 12,$$ 于是所求取值范围是 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$．