每日一题[1859]第一定义两吃

点 $P$ 在双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}3=1$ 的右支上，双曲线的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，且 $|PF_2|=2$，$\triangle PF_1F_2$ 的内心为 $I$，$O$ 为坐标原点，过 $F_1$ 作 $PI$ 的垂线，垂足为 $M$，则 $|OI|\cdot |OM|$ 的值为_______．

答案    $\dfrac{2\sqrt{10}}5$．

解析    设 $\triangle PF_1F_2$ 的内切圆与 $PF_1,F_1F_2,F_2P$ 分别切于 $A,B,C$，且

$$|PF_1|-|PF_2|=2\implies |AF_1|-|CF_2|=2\implies |BF_1|-|BF_2|=2\implies OB=1,$$ 设 $I(1,r)$，则 $$\begin{cases} |PA|=|PC|=1,\\ |F_1A|=|F_1B|=3,\\ |F_2B|=|F_2C|=1,\end{cases}\implies r=\dfrac{\sqrt{5(5-4)(5-4)(5-2)}}{5}=\dfrac{\sqrt{15}}5,$$ 因此 $$|OI|=\sqrt{1+r^2}=\dfrac{2\sqrt {10}}{5},$$ 而作 $F_1$ 关于 $PI$ 的对称点 $F'$，则 $|OM|=\dfrac 12|F_2F_1'|=1$，因此所求值为 $\dfrac{2\sqrt{10}}5$．