已知无穷数列 {an},{bn},{cn} 满足：对任意的 n∈N∗，都有 an+1=|bn|−|cn|，bn+1=|cn|−|an|，cn+1=|an|−|bn|．记 dn=max{|an|,|bn|,|cn|}．
1、若 a1=1，b1=2，c1=4，求 a4,b4,c4 的值．
2、若 a1=1，b1=2，求满足 d2=d3 的 c1 的所有值．
3、设 a1,b1,c1 为非零整数，且 |a1|,|b1|,|c1| 互不相等，证明：存在正整数 k，使得数列 {an},{bn},{cn} 中有且只有一个数列自第 k 项起各项全为 0．
解析
1、根据题意，有nanbncn11242−23−132−1−140−11
2、由于{||bn|−|cn||⩽max{|bn|,|cn|},||cn|−|an||⩽max{|cn|,|an|},||an|−|bn||⩽max{|an|,|bn|},从而max{||bn|−|cn||,||cn|−|an||,||an|−|bn||}⩽max{|an|,|bn|,|cn|},等号取得的条件是 |an|,|bn|,|cn| 中至少有一个为 0．因此由 d2=d3 可得 |a2|,|b2|,|c2| 中至少有一个为 0，也就是 2−|c1|,|c1|−1 中至少有一个为 0，c1 的所有可能值为 ±1,±2．
3、首先根据第 (2) 小题的结果，有 dn+1⩽dn 且若 an,bn,cn 中没有零，那么 dn+1<dn，否则，则有 dn+1=dn．而当 a1,b1,c1 都是整数时，{an},{bn},{cn} 均为整数数列，因此若 dn+1<dn，则有 dn+1⩽dn−1．这就意味着存在某个正整数 m，使得 am,bm,cm 中至少有一个零，否则 {dn} 每次至少减 1，与 {dn} 有下界 0 矛盾． 接下来，我们证明 {an},{bn},{cn} 中至多出现一个 0．这是显然的，否则若 am,bm,cm 中有至少 2 个 0，则 |bm−1|=|cm−1|=|am−1|，进而||cm−2|−|am−2||=||am−2|−|bm−2||=||bm−2|−|cm−2||⟺|am−2|=|bm−2|=|cm−2|,依次类推，可得 |a1|=|b1|=|c1|，矛盾．因此 {an},{bn},{cn} 中至多出现一个 0． 最后，若 am,bm,cm 中有且只有一个零，不妨设为 am=0，进而设 |am−1|=a，|bm−1|=|cm−1|=b，则nanbncnm−1a/−ab/−bb/−bm0b−aa−bm+10|a−b|−|a−b|m+20|a−b|−|a−b|⋯⋯⋯⋯ 因此 {an} 从第 m 项起均为 0，而其他两个数列均不为 0． 至此，命题得证．