每日一题[1844]半不变量

已知无穷数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 满足：对任意的 $n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $a_{n+1}=|b_n|-|c_n|$，$b_{n+1}=|c_n|-|a_n|$，$c_{n+1}=|a_n|-|b_n|$．记 $d_n=\max\{|a_n|,|b_n|,|c_n|\}$．

1、若 $a_1=1$，$b_1=2$，$c_1=4$，求 $a_4,b_4,c_4$ 的值．

2、若 $a_1=1$，$b_1=2$，求满足 $d_2=d_3$ 的 $c_1$ 的所有值．

3、设 $a_1,b_1,c_1$ 为非零整数，且 $|a_1|,|b_1|,|c_1|$ 互不相等，证明：存在正整数 $k$，使得数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 中有且只有一个数列自第 $k$ 项起各项全为 $0$．

解析

1、根据题意，有 $$\begin{array}{c|ccc}\hline n&a_n&b_n&c_n\\ \hline 1&1&2&4\\ \hline 2&-2&3&-1\\ \hline 3&2&-1&-1\\ \hline 4&0&-1&1\\ \hline \end{array}$$

2、由于 $$\begin{cases}\big||b_n|-|c_n|\big|\leqslant \max\{|b_n|,|c_n|\},\\ \big||c_n|-|a_n|\big|\leqslant \max\{|c_n|,|a_n|\},\\ \big||a_n|-|b_n|\big|\leqslant \max\{|a_n|,|b_n|\},\end{cases}$$ 从而 $$\max\left\{\big||b_n|-|c_n|\big|,\big||c_n|-|a_n|\big|,\big||a_n|-|b_n|\big|\right\}\leqslant \max\{|a_n|,|b_n|,|c_n|\},$$ 等号取得的条件是 $|a_n|,|b_n|,|c_n|$ 中至少有一个为 $0$．因此由 $d_2=d_3$ 可得 $|a_2|,|b_2|,|c_2|$ 中至少有一个为 $0$，也就是 $2-|c_1|,|c_1|-1$ 中至少有一个为 $0$，$c_1$ 的所有可能值为 $\pm 1,\pm 2$．

3、首先根据第 $(2)$ 小题的结果，有 $d_{n+1}\leqslant d_n$ 且若 $a_n,b_n,c_n$ 中没有零，那么 $d_{n+1}<d_n$，否则，则有 $d_{n+1}=d_n$．而当 $a_1,b_1,c_1$ 都是整数时，$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 均为整数数列，因此若 $d_{n+1}<d_n$，则有 $d_{n+1}\leqslant d_n-1$．这就意味着存在某个正整数 $m$，使得 $a_m,b_m,c_m$ 中至少有一个零，否则 $\{d_n\}$ 每次至少减 $1$，与 $\{d_n\}$ 有下界 $0$ 矛盾． 接下来，我们证明 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 中至多出现一个 $0$．这是显然的，否则若 $a_m,b_m,c_m$ 中有至少 $2$ 个 $0$，则 $|b_{m-1}|=|c_{m-1}|=|a_{m-1}|$，进而 $$\big||c_{m-2}|-|a_{m-2}|\big|=\big||a_{m-2}|-|b_{m-2}|\big|=\big||b_{m-2}|-|c_{m-2}|\big|\iff |a_{m-2}|=|b_{m-2}|=|c_{m-2}|,$$ 依次类推，可得 $|a_1|=|b_1|=|c_1|$，矛盾．因此 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 中至多出现一个 $0$． 最后，若 $a_m,b_m,c_m$ 中有且只有一个零，不妨设为 $a_m=0$，进而设 $|a_{m-1}|=a$，$|b_{m-1}|=|c_{m-1}|=b$，则 $$\begin{array} {c|ccc}\hline n&a_n&b_n&c_n\\ \hline {m-1}&a/-a&b/-b&b/-b\\ \hline m&0&b-a&a-b\\ \hline m+1&0&|a-b|&-|a-b|\\ \hline m+2&0&|a-b|&-|a-b|\\ \hline \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \hline\end{array}$$ 因此 $\{a_n\}$ 从第 $m$ 项起均为 $0$，而其他两个数列均不为 $0$． 至此，命题得证．