每日一题[1844]半不变量

已知无穷数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 满足:对任意的 $n\in\mathbb N^{\ast}$,都有 $a_{n+1}=|b_n|-|c_n|$,$b_{n+1}=|c_n|-|a_n|$,$c_{n+1}=|a_n|-|b_n|$.记 $d_n=\max\{|a_n|,|b_n|,|c_n|\}$.

1、若 $a_1=1$,$b_1=2$,$c_1=4$,求 $a_4,b_4,c_4$ 的值.

2、若 $a_1=1$,$b_1=2$,求满足 $d_2=d_3$ 的 $c_1$ 的所有值.

3、设 $a_1,b_1,c_1$ 为非零整数,且 $|a_1|,|b_1|,|c_1|$ 互不相等,证明:存在正整数 $k$,使得数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 中有且只有一个数列自第 $k$ 项起各项全为 $0$.

解析

1、根据题意,有\[\begin{array}{c|ccc}\hline n&a_n&b_n&c_n\\ \hline 1&1&2&4\\ \hline 2&-2&3&-1\\ \hline 3&2&-1&-1\\ \hline 4&0&-1&1\\ \hline \end{array}\]

2、由于\[\begin{cases}\big||b_n|-|c_n|\big|\leqslant \max\{|b_n|,|c_n|\},\\ \big||c_n|-|a_n|\big|\leqslant \max\{|c_n|,|a_n|\},\\ \big||a_n|-|b_n|\big|\leqslant \max\{|a_n|,|b_n|\},\end{cases} \]从而\[\max\left\{\big||b_n|-|c_n|\big|,\big||c_n|-|a_n|\big|,\big||a_n|-|b_n|\big|\right\}\leqslant \max\{|a_n|,|b_n|,|c_n|\},\]等号取得的条件是 $|a_n|,|b_n|,|c_n|$ 中至少有一个为 $0$.因此由 $d_2=d_3$ 可得 $|a_2|,|b_2|,|c_2|$ 中至少有一个为 $0$,也就是 $2-|c_1|,|c_1|-1$ 中至少有一个为 $0$,$c_1$ 的所有可能值为 $\pm 1,\pm 2$.

3、首先根据第 $(2)$ 小题的结果,有 $d_{n+1}\leqslant d_n$ 且若 $a_n,b_n,c_n$ 中没有零,那么 $d_{n+1}<d_n$,否则,则有 $d_{n+1}=d_n$.而当 $a_1,b_1,c_1$ 都是整数时,$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 均为整数数列,因此若 $d_{n+1}<d_n$,则有 $d_{n+1}\leqslant d_n-1$.这就意味着存在某个正整数 $m$,使得 $a_m,b_m,c_m$ 中至少有一个零,否则 $\{d_n\}$ 每次至少减 $1$,与 $\{d_n\}$ 有下界 $0$ 矛盾. 接下来,我们证明 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 中至多出现一个 $0$.这是显然的,否则若 $a_m,b_m,c_m$ 中有至少 $2$ 个 $0$,则 $|b_{m-1}|=|c_{m-1}|=|a_{m-1}|$,进而\[\big||c_{m-2}|-|a_{m-2}|\big|=\big||a_{m-2}|-|b_{m-2}|\big|=\big||b_{m-2}|-|c_{m-2}|\big|\iff |a_{m-2}|=|b_{m-2}|=|c_{m-2}|,\]依次类推,可得 $|a_1|=|b_1|=|c_1|$,矛盾.因此 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 中至多出现一个 $0$. 最后,若 $a_m,b_m,c_m$ 中有且只有一个零,不妨设为 $a_m=0$,进而设 $|a_{m-1}|=a$,$|b_{m-1}|=|c_{m-1}|=b$,则\[\begin{array} {c|ccc}\hline n&a_n&b_n&c_n\\ \hline {m-1}&a/-a&b/-b&b/-b\\ \hline m&0&b-a&a-b\\ \hline m+1&0&|a-b|&-|a-b|\\ \hline m+2&0&|a-b|&-|a-b|\\ \hline \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \hline\end{array}\] 因此 $\{a_n\}$ 从第 $m$ 项起均为 $0$,而其他两个数列均不为 $0$. 至此,命题得证.

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