每日一题[1843]切比雪夫拟合

设函数 $f(x)=|x^3-ax-b|$，$x\in [-1,1]$，其中 $a,b\in\mathbb R$．若 $f(x)\leqslant M$ 恒成立，则当 $M$ 取得最小值时，$a+b$ 的值为_______．

答案    $\dfrac 34$．

解析    考虑函数 $g(x)=x^3$，端点 $A(-1,-1)$，$B(1,1)$，考虑直线 $y=\dfrac 34x\pm \dfrac 14$，分别与 $g(x)$ 切于点 $x=\mp\dfrac 12$．

考虑 $\pm 1,\mp \dfrac 12$ 处的函数值，有

$$\begin{cases} f(-1)=|-1+a-b|,\\ f\left(-\dfrac 12\right)=\left|-\dfrac 18+\dfrac 12a-b\right|,\\ f\left(\dfrac 12\right)=\left|\dfrac 18-\dfrac 12a-b\right|,\\ f(1)=|1-a-b|,\end{cases}$$ 因此 $$\dfrac{f(-1)+2f\left(-\dfrac 12\right)+2f\left(\dfrac 12\right)+f(1)}6\geqslant \dfrac{\left|-(-1+a-b)+2\left(\dfrac 18+\dfrac 12a-b\right)-2\left(-\dfrac 18-\dfrac 12a-b\right)+(1-a-b)\right|}{6}=\dfrac 14,$$ 因此 $M\geqslant \dfrac 14$，当 $a=\dfrac 34$，$b=0$ 时，$M$ 可以取得 $\dfrac 14$．所以 $M$ 的最小值为 $\dfrac 14$，此时 $a+b$ 的值为 $\dfrac 34$．