每日一题[1838]内接三角形

抛物线 $P:y^2=4x$ 的焦点为 $F$，点 $A,B,C$ 在 $P$ 上，且 $\triangle ABC$ 的重心为 $F$，则 $|FA|+|FB|$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(3,\dfrac 92\right)\cup\left(\dfrac 92,5\right]$

B．$\left[4,\dfrac 92\right)\cup\left(\dfrac 92,5\right]$

C．$(3,4)\cup\left(4,\dfrac 92\right)$

D．$[3,5]$

答案    A．

解析    设 $A(4a^2,4a)$，$B(4b^2,4b)$，$C(4c^2,4c)$，则 $$\begin{cases} 4a^2+4b^2+4c^2=3,\\ 4a+4b+4c=0,\\ a\ne b,b\ne c,c\ne a,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2+b^2+c^2=\dfrac 34,\\ a+b+c=0,\\ a\ne b,b\ne c,c\ne a\end{cases}$$ 而 $$|FA|+|FB|=(4a^2+1)+(4b^2+1)=5-4c^2,$$ 考虑到 $a,b,c$ 互不相等，因此 $(a,b,c)$ 无法取得 $\left(\pm\dfrac{\sqrt 2}4,\pm\dfrac{\sqrt 2}4,\mp\dfrac{\sqrt 2}2\right)$ 及其轮换．而 $$2(a^2+b^2)>(a+b)^2\implies 2\left(\dfrac 34-c^2\right)>c^2\implies 0\leqslant c^2<\dfrac 12,$$ 从而所求取值范围是 $\left(3,\dfrac 92\right)\cup\left(\dfrac 92,5\right]$．