每日一题[1836]极值点偏移

已知函数 $f(x)=\dfrac ax+\dfrac 12\ln x-1$．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、若函数 $f(x)$ 存在两个零点 $x_1,x_2$，证明：$\dfrac{{\rm e}(x_1+x_2)}{x_1x_2}>2$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{x-2a}{2x^2},$$ 于是当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递增；当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,2a)$ 丧单调递减，在 $(2a,+\infty)$ 上单调递增．

2、根据题意，有 $a>0$，且此时 $f(x)$ 的最小值为

$$f(2a)=\dfrac 12+\dfrac 12\ln (2a)-1<0\implies 0<a<\dfrac{\rm e}2.$$ 此时 $$\dfrac a{x_1}+\dfrac 12\ln x_1-1=\dfrac a{x_2}+\dfrac 12\ln x_2-1=0,$$ 根据对数平均不等式，有 $$\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}<\dfrac{x_1+x_2}2\iff \dfrac{x_1-x_2}{2\left(1-\dfrac a{x_1}\right)-2\left(1-\dfrac a{x_2}\right)}<\dfrac{x_1+x_2}2,$$ 即 $$\dfrac{x_1x_2}{2a}<\dfrac{x_1+x_2}2 \implies \dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}>\dfrac 1a>\dfrac 2{\rm e},$$ 命题得证．