每日一题[1834]比大小

已知 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 成等比数列，满足 $a_1+a_2+a_3+a_4=(a_2+a_3+a_4)^2$，且 $a_4>1$，下列选项正确的是（     ）

 A．$a_1>a_3$

B．$a_3>a_4$

C．$a_1>a_2$

D．$a_2<a_4$

答案    AD．

解析    设等比数列的公比为 $q$，则

$$a_1(1+q+q^2+q^3)=a_1^2(q+q^2+q^3)^2,$$ 于是 $$a_4=a_1q^3=\dfrac{q^3(1+q+q^2+q^3)}{(q+q^2+q^3)^2}>1,$$ 即 $$q^3(1+q+q^2+q^3)-(q+q^2+q^3)^2>0\iff -q^2(1+q+2q^2+q^3)>0,$$ 因此 $$(1+q)(1+q^2)<1+q+2q^2+q^3<0\implies q<-1,$$ 于是 $$\begin{split} a_1-a_2&=\dfrac{a_4}{q^3}-\dfrac{a_4}{q^2}=\dfrac{a_4(1-q)}{q^3}<0,\\ a_1-a_3&=\dfrac{a_4}{q^3}-\dfrac{a_4}{q}=\dfrac{a_4(1-q^2)}{q^3}>0,\\ a_3-a_4&=\dfrac{a_4}{q}-a_4=\dfrac{a_4(1-q)}{q}<0,\\ a_2-a_4&=\dfrac{a_4}{q^2}-a_4=\dfrac{a_4(1-q^2)}{q^2}<0,\end{split}$$ 因此 $a_1<a_2$，$a_1>a_3$，$a_3<a_4$，$a_2<a_4$．