每日一题[1833]非对称位置最值

已知 $\triangle ABC$ 中，$\sin C=2\cos A\cos B$，则 $\cos^2A+\cos^2B$ 的最大值是_______．

答案    $\dfrac{1+\sqrt 2}2$．

解析一

根据题意，有 $$\sin A\cos B+\cos A\sin B=2\cos A\cos B\iff \tan A+\tan B=2,$$ 设 $\tan A=1+x$，$\tan B=1-x$，其中 $x\in [0,1)$，则 $$\begin{split} \cos^2A+\cos^2B&=\dfrac{1}{1+\tan^2A}+\dfrac{1}{1+\tan^2B}\\ &=\dfrac{1}{2+x^2+2x}+\dfrac{1}{2+x^2-2x}\\ &=\dfrac{2(2+x^2)}{(2+x^2)^2-4x^2}\\ &=\dfrac{2}{x^2+2+\dfrac{8}{x^2+2}-4}\\ &\leqslant \dfrac{2}{4\sqrt 2-4}=\dfrac{\sqrt 2+1}2,\end{split}$$ 等号当 $x=\pm \sqrt{2\sqrt 2-2}$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{\sqrt 2+1}2$．

解析二

根据题意，有 $$\cos^2A+\cos^2B=\dfrac{1+\cos 2A}2+\dfrac{1+\cos 2B}2=1-\cos C\cos(A-B),$$ 而由条件可得 $$\sin C =\cos(A+B)+\cos(A-B)\implies \cos(A-B)=\sin C+\cos C,$$ 设原式为 $m$，则 $$m=1-\sin C\cos C-\cos^2C=\dfrac{1-\sqrt 2\sin \left(2C+\dfrac{\pi}4\right)}2 \leqslant \dfrac{1+\sqrt 2}2,$$ 等号当 $C=\dfrac{5\pi}8$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{\sqrt 2+1}2$．