每日一题[1832]有界！不许动

已知等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\cos (\omega n)$（$\omega \in \mathbb R$，$n\in\mathbb N^{\ast}$），则其前 $10$ 项和为_______．

答案    $10$．

解析    由于等差数列在公差不为 $0$ 时无界，而余弦函数有界，因此该等差数列为常数列，也即 $f(x)=\cos(\omega x)$ 上被水平直线所截得的散点等距分布．考虑到 $f(x)=\cos(\omega x)$ 过 $(0,1)$，因此 $a_n=1$，对应 $\omega =2k\pi$（$k\in\mathbb Z$），从而其前 $10$ 项和为 $10$．