每日一题[1830]必要条件探路

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-k({\rm e}-1)x$．

1、若函数 $f(x)$ 有两个零点，求实数 $k$ 的取值范围．

2、若 $f(x)-kx\ln x\geqslant 1$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

解析

1、方程 $f(x)=0$ 即 $$k({\rm e}-1)=\dfrac{{\rm e}^x}{x},$$ 设右侧函数为 $r(x)$，则其导函数 $$r'(x)=\dfrac{{\rm e}^x(x-1)}{x^2},$$ 于是函数 $r(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．当 $k\leqslant 0$ 时，取 $x>0$，则 $$k({\rm e}-1)\leqslant 0<\dfrac{{\rm e}^x}{x},$$ 因此该方程没有正实数解，而结合单调性，该方程不可能有 $2$ 个实数解．因此 $k>0$，该方程没有负实数解，进而结合单调性，实数 $k$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{{\rm e}}{{\rm e}-1},+\infty\right)$．

2、根据题意，有 $$\forall x>0,{\rm e}^x-k({\rm e}-1)x-kx\ln x\geqslant 1,$$ 即 $$\forall x>0,\dfrac{{\rm e}^x-1}x-k({\rm e}-1+\ln x)\geqslant 0.$$ 设右侧函数为 $g(x)$，考虑到当 $x\to 0$ 时，$\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}\to 1$，$\ln x\to -\infty$，于是 $k\geqslant 0$．否则，当 $0<x<\min\left\{1,{\rm e}^{-2({\rm e}-1)},{\rm e}^{20/k}\right\}$ 时，有 $$\begin{cases} \dfrac{{\rm e}^x-1}x<10,\\ {\rm e}-1+\dfrac 12\ln x<0,\\ \dfrac 12\ln x<\dfrac {10}{k},\end{cases}\implies \dfrac{{\rm e}^x-1}x-k({\rm e}-1+\ln x)<0,$$ 矛盾．又 $$g(1)=(1-k)({\rm e}-1)\geqslant 0\implies k\leqslant 1,$$ 接下来证明 $0\leqslant k\leqslant 1$ 时符合题意．由于 $g(x)$ 的函数值必然在 $h_1(x)=\dfrac{{\rm e}^x-1}x$ 和 $h_2(x)=\dfrac{{\rm e}^x-1}x-({\rm e}-1+\ln x)$ 之间，因此只需要证明 $h_1(x)\geqslant 0$ 且 $h_2(x)\geqslant 0$．第一个不等式显然，又 $$h_2'(x)=\dfrac{(x-1)\left({\rm e}^x-1\right)}{x^2},$$ 于是 $h_2(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，也为最小值为 $h_2(1)=0$，因此 $h_2(x)\geqslant 0$，证毕． 综上所述，实数 $k$ 的取值范围是 $[0,1]$．