每日一题[1829]极化恒等式

在 $\triangle ABC$ 中，点 $E,F$ 分别是线段 $AB,AC$ 的中点，点 $P$ 在直线 $EF$ 上，若 $\triangle ABC$ 的面积为 $2$，则 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}^2$ 的最小值是（        ）

A．$2$

B．$3$

C．$3\sqrt 2$

D．$2\sqrt 3$

答案    D．

解析    利用极化恒等式，有 $$\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}^2=|PD|^2+\dfrac 34|BC|^2,$$ 其中 $D$ 为 $BC$ 的中点．考虑到 $\triangle PBC$ 的高为 $\triangle ABC$ 的高的一半，为 $\dfrac{2}{|BC|}$，有 $$|PD|^2+\dfrac 34|BC|^2\geqslant \left(\dfrac{2}{|BC|}\right)^2+\dfrac 34|BC|^2 \geqslant 2\sqrt 3,$$ 等号当 $PD\perp BC$ 且 $|BC|=\dfrac{2}{\sqrt 3}$ 时取得，因此所求最小值为 $2\sqrt 3$．