每日一题[1811]来回摇摆

$\tt Henry$ 决定在某天早上进行锻炼，他从家出发 $2$ 千米外的健身房并走了 $\dfrac 34$ 的路程，此时他改变了主意，掉头回家，并走了离家距离的 $\dfrac 34$，然后他又改变了主意，走了离健身房距离的 $\dfrac 34$，以此类推．如果 $\tt Henry$ 持续在距离当前目的地的 $\dfrac 34$ 路程处改变主意，那么最后他将近似在离家 $A$ 千米处和离家 $B$ 千米处之家来回走动，则 $|A-B|=$ _______．

答案    $\dfrac 65$．

解析    不妨设 $A\leqslant B$，则根据题意，有 $$\begin{cases} B-B\cdot \dfrac 34=A,\\ A+(2-A)\cdot \dfrac 34=B,\end{cases} \iff \begin{cases} A=\dfrac 23,\\ B=\dfrac 85,\end{cases}\implies |A-B|=1\dfrac 15.$$ 事实上，设 $x_n$ 为第 $n$ 次决定去健身房时 $\tt Henry$ 所处的位置离家的距离与健身房离家总距离之比，则有 $x_1=0$，且 $$x_{n+1}=\left(1-\dfrac 34\right)\left(x_n+(1-x_n)\cdot \dfrac 34\right)=\dfrac1{16}x_n+\dfrac3{16},$$ 容易证明该数列单调递增且有上界 $\dfrac 15$，进而收敛于 $\dfrac 15$．