每日一题[131] 极化恒等式

正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为$2$，$MN$是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），$P$为正方体表面上的动点，当弦$MN$的长度最大时，$\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}$的取值范围是_______．

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正确的答案是$[0,2]$．

长度最大的弦$MN$为直径，设内切球的球心为$O$．根据极化恒等式（平面向量的“积化和差”公式），有

$$\begin{split}4\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}&=\left(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}\right)^2-\left(\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{PN}\right)^2\\&=4OP^2-MN^2\\&=4OP^2-4,\end{split}$$ 于是 $$\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}=OP^2-1,$$ 其取值范围为$[0,2]$．

注   根据此题可知对线段$MN$而言，$\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}$为定值的点$P$的轨迹为球面，且$\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}$越大，球的半径越大．于是当该球与正方体内切时$\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}$最小，当该球与正方体外接时$\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}$最大．

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2015年9月4日补充练习题．

（2013年·临沂三模）如图放置的正方形$ABCD$，$AB=1$，$A$、$D$分别在$x$轴、$y$轴的正半轴（含原点）上滑动，则$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}$的最大值是_______．

解    取$BC$中点$M$，$AD$中点$N$，则由极化恒等式

$$4\vec a\cdot \vec b=\left(\vec a+\vec b\right)^2-\left(\vec a-\vec b\right)^2,$$ 可得 $$\overrightarrow {OC}\cdot\overrightarrow {OB}=OM^2-\dfrac 14BC^2=OM^2-\dfrac 14,$$

连接$ON$、$NM$，则有

$$OM\leqslant ON+NM=\dfrac 12AD+AB=\dfrac 32,$$ 等号当$O$、$N$、$M$三点共线时取得，因此$OM$的最大值为$\dfrac 32$，所求数量积的最大值为$2$．

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2015年11月13日补充练习．

已知点$O$为坐标原点，$\triangle ABC$为圆$C_1:(x-1)^2+(y-\sqrt 3)^2=1$的内接正三角形，则$\overrightarrow {OA}\cdot\left(\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}\right)$的最小值为_______．

解    如图，取$BC$的中点$M$，连接$AM$，取$AM$的中点$N$．

欲求代数式

$$\begin{split} \overrightarrow {OA}\cdot\left(\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}\right)&=\overrightarrow {OA}\cdot 2\overrightarrow {OM}\\&=2\left(ON^2-\dfrac 14AM^2\right)\\&=2ON^2-\dfrac12AM^2,\end{split}$$ 其中用到了极化恒等式 $$4\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OM}=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}\right)^2-\left(\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OM} \right)^2.$$

由圆$C_1$的半径为$1$可得$\triangle ABC$的边长为$\sqrt 3$，于是

$$AM=\dfrac 32.$$ 又 $$C_1N=C_1A-\dfrac 12AM=\dfrac 14,$$ 于是点$N$在以$C_1$为圆心，$\dfrac 14$为半径的圆上．

因此$\overrightarrow {OA}\cdot\left(\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}\right)$的最小值为

$$2(OC_1-C_1N)^2-\dfrac 12AM^2=5.$$