每日一题[1792]基本事件

有 $5$ 个乒乓球，其中有 $3$ 个是新球，$2$ 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次比赛，都拿其中的 $2$ 个球用，用完后全部放回．设第二次比赛时取到新球的个数为 $\xi$，则 $\xi$ 的数学期望 $E(\xi)=$ _______．

答案    $\dfrac{18}{25}$．

解析    用 $A_1,A_2,A_3$ 表示新球，$B_1,B_2$ 表示旧球，则可以用 $\{A_1,A_2,A_3,B_1,B_2\}$ 抽取两个二元组形成一个二元组排列记录一个基本事件（如 $(A_1A_2)(A_1B_2)$，这样的事件共有 $\mathop{\rm C}\nolimits_5 ^2\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^2=100$ 个，第二个二元组首次出现的 $A$ 的数量为即为 $\xi$．

情形一    第一个二元组为 $(B_1B_2)$．此时总新球数为 $12$．

情形二    第一个二元组为 $(A_iB_j)$．此时总新球数为 $6\cdot 8=48$．

情形三    第一个二元组为 $(A_iB_j)$．此时总新球数为 $3\cdot 4=12$．

综上所述，所求数学期望为 $\dfrac{12+48+12}{100}=\dfrac{18}{25}$．