每日一题[1778]变幻的椭圆

已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）通过点 $(2,1)$，则这些椭圆上满足 $\mid y\mid>1$ 的点的集合用阴影表示是下面图中的（       ）

A．

B．

C．

D．

答案    C．

解析    根据题意，有

$$\begin{cases} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,\\ \dfrac4{a^2}+\dfrac1{b^2}=1,\\ a>b>0,\\ |y|>1,\end{cases}\iff \begin{cases} b^2=\dfrac{a^2}{a^2-4},\\ a^2=\dfrac{4y^2-2x^2}{y^2-1},\\ a^2>\dfrac{a^2}{a^2-4},\\ |y|>1,\end{cases}\iff \begin{cases} b^2=\dfrac{a^2}{a^2-4},\\ a^2>5,\\ x^2+y^2<5,\\ |y|>1,\end{cases}$$ 于是所求点的集合为 $\left\{(x,y)\mid x^2+y^2<5,|y|>1\right\}$．