每日一题[1772]诱导

设 $f(x)=x^2-\pi x$，$\alpha=\arcsin\dfrac 13$，$\beta=\arctan\dfrac 54$，$\gamma=\arccos\left(-\dfrac 13\right)$，$\delta=\mathop{\rm arccot}\left(-\dfrac 54\right)$，则（       ）

A．$f(\alpha)>f(\beta)>f(\delta)>f(\gamma)$

B．$f(\alpha)>f(\delta)>f(\beta)>f(\gamma)$

C．$f(\delta)>f(\alpha)>f(\beta)>f(\gamma)$

D．$f(\delta)>f(\alpha)>f(\gamma)>f(\beta)$

答案    B．

解析    由于 $f(\pi -x)=f(x)$，考虑将所有数诱导到函数 $f(x)$ 的单调递减区间 $\left(-\infty,\dfrac{\pi}2\right)$ 上来．考虑到

$$\begin{cases} \beta=\arcsin\dfrac{5}{\sqrt{41}},\\ \pi -\gamma =\arccos\dfrac 13=\arcsin\dfrac{2\sqrt 2}{3},\\ \pi-\delta=\mathop{\rm arccot}\dfrac 54=\arcsin\dfrac{4}{\sqrt{41}},\end{cases}$$ 且 $$\arcsin\dfrac13<\arcsin\dfrac4{\sqrt{41}}<\arcsin\dfrac5{\sqrt{41}}<\arcsin\dfrac{2\sqrt 2}3,$$ 于是 $f(\alpha)>f(\delta)>f(\beta)>f(\gamma)$．