每日一题[1768]平移图形

设二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a,b,c\in\mathbb R$，$a\ne 0$）满足条件：

① 当 $x\in\mathbb R$ 时，$f(x-4)=f(2-x)$，且 $f(x)\geqslant x$；

② 当 $x\in(0,2)$ 时，$f(x)\leqslant \left(\dfrac{x+1}2\right)^2$；

③ $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上的最小值为 $0$．

求最大的 $m$，使得存在 $t\in\mathbb R$，只要 $x\in[1,m]$，就有 $f(x+t)\leqslant x$．

答案    $9$．

解析    由 $f(x-4)=f(2-x)$ 可得函数 $f(x)$ 关于 $x=-1$ 对称，由

$$\left.\begin{split} f(x)\geqslant x\implies f(1)\geqslant 1,\\ \forall x\in(0,2),f(x)\leqslant \left(\dfrac{x+1}2\right)^2,\end{split}\right\}\implies f(1)=1,$$ 结合 $f(x)$ 的最小值为 $0$，可得 $$\begin{cases} -\dfrac b{2a}=-1,\\ a+b+c=1,\\ \dfrac{4ac-b^2}{4a}=0\land a>0,\end{cases} \iff \begin{cases} a=\dfrac 14,\\ b=\dfrac 12,\\ c=\dfrac 14\end{cases}.$$ 从而函数 $f(x)=\dfrac 14(x+1)^2$ 在 $[1,m]$ 的部分经过平移后恒在直线 $y=x$ 的下方．

事实上，$f(x)$ 至多向右平移 $4$ 个单位，此时 $m$ 的最大值为 $9$．