每日一题[1766]小螃蟹

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，给定三点 $A\left(0,\dfrac 43\right)$，$B(-1,0)$，$C(1,0)$，点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离是该点到直线 $AB,AC$ 的距离的等比中项．

1、求点 $P$ 的轨迹方程．

2、若直线 $l$ 经过 $\triangle ABC$ 的内心（设为 $D$），且与点 $P$ 的轨迹恰好有 $3$ 个公共点，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围．

解析

1、根据题意，有 $$\begin{cases} AB:4x-3y+4=0,\\ CA:4x+3y-3=0,\\ BC:y=0,\end{cases}$$ 因此 $P$ 点的轨迹方程为 $$\dfrac{|(4x-3y+4)(4x+3y-4)|}{25}=y^2,y\ne 0$$ 即 $$2x^2+2y^2+3y-2=0\lor 8x^2-17y^2+12y-8=0,y\ne 0.$$

2、根据题意，有 $D\left(0,\dfrac 12\right)$，设 $E(-1,0)$，$F(1,0)$．根据第 $(1)$ 小题的结果，点 $P$ 的轨迹包含两部分，分别是圆 $G:x^2+\left(y+\dfrac 34\right)^2=\dfrac{25}{16},y\ne 0$ 和双曲线 $H:\dfrac{x^2}{\dfrac{25}{34}}-\dfrac{\left(y-\dfrac6{17}\right)^2}{\dfrac{100}{289}}=1,y\ne 0$．

情形一     $k=0$．此时直线 $l$ 与圆 $G$ 相切于 $D$，与双曲线 $H$ 相交于两点，符合题意．

情形二    $k=\pm \dfrac 12$．此时直线 $l$ 经过 $E$ 或 $F$，与圆 $G$ 相交于点 $D$，与双曲线 $H$ 至多有一个交点，不符合题意．

情形三    $k\ne 0$ 且 $k\ne \pm \dfrac 12$．此时直线 $l$ 与圆 $G$ 相交于 $2$ 点，当直线 $l$ 与双曲线 $H$ 相切或与双曲线 $H$ 的渐近线平行时符合题意．设直线 $$l:kx-\left(y-\dfrac6{17}\right)+\dfrac5{34}=0,$$ 该直线与双曲线 $H$ 相切，即 $$\left(\dfrac5{34}\right)^2-\left(\dfrac{25}{34}k^2-\dfrac{100}{289}\right)=0\iff k=\pm\dfrac{\sqrt 2}2.$$ 该直线与双曲线 $H$ 的渐近线平行，即 $k=\pm\dfrac{2\sqrt{34}}{17}$．

综上所述，所求斜率 $k$ 的取值范围是 $\left\{0,\pm\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{2\sqrt{34}}{17}\right\}$．