每日一题[1759]切割线放缩

已知 $a,b,c$ 皆为正实数，且 $a+b+c=1$，求 $\sqrt{3 a^{2}+1}+\sqrt{3 b^{2}+1}+\sqrt{3 c^{2}+1}$ 的整数部分．

答案    $3$．

解析    根据切割线放缩，可得

$$\dfrac{\sqrt 3}2\left(x-\dfrac 13\right)+\dfrac2{\sqrt 3}\leqslant \sqrt{3x+1}<x+1,$$ 因此 $$3<2\sqrt 3\leqslant M<4,$$ 因此 $M$ 的整数部分是 $3$．