每日一题[1746]伸缩成圆

作斜率为 $\dfrac 13$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 交于 $A,B$ 两点（如图所示），且 $P\left(3\sqrt 2,\sqrt 2\right)$ 在直线 $l$ 的左上方．

1、证明：$\triangle{PAB}$ 的内切圆的圆心在一条定直线上．

2、若 $\triangle{APB}=60^{\circ}$，求 $\triangle{PAB}$ 的面积．

解析

1、作仿射变换 $x'=x$，$y'=3y$，则椭圆 $C$ 变为圆 $C':x'^2+y'^2=36$，$P'\left(3\sqrt 2,3\sqrt 2\right)$，直线 $l'$ 的斜率为 $-1$．

过 $O$ 作 $A'B'$ 的垂线交圆 $C'$ 于 $Q'$，则 $Q'\left(3\sqrt 2,-3\sqrt 2\right)$，因此 $P'Q'$ 平分 $\angle A'P'B'$，进而 $x=3\sqrt 2$ 平分 $\angle APB$，因此 $\triangle PAB$ 的内切圆的圆心在一条定直线 $x=3\sqrt 2$ 上．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，直线 $P'A'$ 和 $P'B'$ 的 斜率为 $\pm3\sqrt 3$，直线 $A'B'$ 的斜率为 $1$．根据到角公式，有

$$\begin{cases} \tan A'=\dfrac{3\sqrt 3-1}{1+3\sqrt 3},\\ \tan B'=\dfrac{1+3\sqrt 3}{1-3\sqrt 3},\\ \tan P'=\dfrac{3\sqrt 3}{13},\end{cases}$$ 而 $\triangle A'B'P'$ 的外接圆直径 $d=12$，因此 $\triangle A'B'P'$ 的面积 $$S'=\dfrac12d^2\sin A'\sin B'\sin P'=\dfrac 12\cdot 12^2\cdot \dfrac{13}{28}\cdot \dfrac{3\sqrt 3}{14}=\dfrac{351\sqrt 3}{49},$$ 进而 $\triangle PAB$ 的面积 $$S=\dfrac 13S'=\dfrac{117\sqrt 3}{49}.$$