求所有的正实数对 (a,b),使得函数 f(x)=ax2+b 满足:对任意实数 x,y,有f(xy)+f(x+y)⩾
答案 \{(a,b)\mid 0<b\leqslant 1,0<a<1,2a+b\leqslant 2\}.
解析 已知条件可转化为条件p:\forall x,y\in\mathbb R,(ax^{2}y^{2}+b)(a(x+y)+b)\geqslant (ax^{2}+b)(ay^{2}+b),先寻找 a,b 所满足的必要条件. 在条件 p 中令 y=0,得 b+(ax^{2}+b)\geqslant (ax^{2}+b)\cdot b,即对任意实数 x,有(1-b)ax^{2}+b(2-b)\geqslant 0.由于 a>0,故 ax^{2} 可取到任意大的正值,因此必有 1-b\geqslant 0,即 0<b\leqslant 1. 在条件 p 中再令 y=-x,得 (ax^{4}+b)+b\geqslant (ax^{2}+b)^{2},即对任意实数 x,有(a-a^{2})x^{4}-2abx^{2}+(2b-b^{2})\geqslant 0, 将条件 p 的左边记为 g(x).显然 a-a^{2}\ne 0(否则,由 a>0 可知 a=1,此时 g(x)=-2bx^{2}+(2b-b^{2}),其中 b>0,故 g(x) 可取到负值,矛盾),于是\begin{split}g(x)&=(a-a^{2})\left(x^{2}-\dfrac{ab}{a-a^{2}}\right)^{2}-\dfrac{(ab)^{2}}{a-a^{2}}+(2b-b^{2})\\&=(a-a^{2})\left(x^{2}-\dfrac{b}{1-a}\right)^{2}+\dfrac{b}{1-a}(2-2a-b)\\&\geqslant 0.\end{split}对一切实数 x 成立,从而必有 a-a^{2}>0,即 0<a<1. 进一步,考虑到此时 \dfrac{b}{1-a}>0,在根据g\left(\sqrt{\dfrac{b}{1-a}}\right)=\dfrac{b}{1-a}(2-2a-b)\geqslant 0,可得 2a+b\leqslant 2. 至此,求得 a,b 满足的必要条件为条件q:0<b\leqslant 1,0<a<1,2a+b\leqslant 2. 下面证明,对满足上述条件 q 的任意实数对 (a,b) 以及任意实数 x,y,总有条件 p 成立,即h(x,y)=(a-a^{2})x^{2}y^{2}+a(1-b)(x^{2}+y^{2})+2axy+(2b-b^{2})对任意 x,y 取非负值. 事实上,在条件 q 成立时,有 a(1-b)\geqslant 0,a-a^{2}>0,\dfrac{b}{1-a}(2-2a-b)\geqslant 0,再结合 x^{2}+y^{2}\geqslant -2xy,可得\begin{split}h(x,y)&\geqslant (a-a^{2})x^{2}y^{2}+a(1-b)(-2xy)+2axy+2axy+(2b-b^{2})\\&=(a-a^{2})x^{2}y^{2}+2abxy+(2b-b^{2})\\&=(a-a^{2})\left(xy+\dfrac{b}{1-a}\right)^{2}+\dfrac{b}{1-a}(2-2a-b)\\& \geqslant 0.\end{split}综上所述,所求的正实数对 (a,b) 全体为 \{(a,b)|0<b\leqslant 1,0<a<1,2a+b\leqslant 2\}.