每日一题[1741]蛰伏的心

过抛物线 $y=x^2$ 上的一点 $A(1,1)$ 作抛物线的切线，分别交 $x$ 轴于 $D$，交 $y$ 轴于 $B$，点 $C$ 在抛物线上，点 $E$ 在线段 $AC$ 上，满足 $\dfrac{AE}{EC}=\lambda_1$，点 $F$ 在线段 $BC$ 上，满足 $\dfrac{BF}{FC}=\lambda_2$，且 $\lambda_1+\lambda_2=1$，线段 $CD$ 与 $EF$ 交于点 $P$，当点 $C$ 在抛物线上移动时，求点 $P$ 的轨迹方程．

答案    $y=\dfrac 13(3x-1)^2$，$x\ne \dfrac 23$．

解析    根据题意，有 $A:y=2x-1$，于是 $B(0,-1)$，$D\left(\dfrac 12,0\right)$，$D$ 为 $AB$ 中点．设 $\dfrac{CP}{CD}=\lambda$，则有

$$\overrightarrow{CP}=\lambda\overrightarrow{CD}=\dfrac 12\lambda\overrightarrow{CB}+\dfrac 12\lambda\overrightarrow{CA},$$ 再设 $\dfrac{EP}{EF}=\mu$，则 $$\overrightarrow{CP}=(1-\mu)\overrightarrow{CE}+\mu\overrightarrow{CF}=\dfrac{1-\mu}{1+\lambda_1}\overrightarrow{CA}+\dfrac{\mu}{1+\lambda_2}\overrightarrow{CB},$$ 从而 $$\dfrac 12\lambda=\dfrac{1-\mu}{1+\lambda_1}=\dfrac{\mu}{1+\lambda_2}\implies \begin{cases} \lambda=\dfrac 23,\\ \mu=\dfrac{1+\lambda_2}{3},\end{cases}$$ 因此 $P$ 为 $\triangle ABC$ 的重心．设 $P(x,y)$，则 $C(3x-1,3y)$（$x=\ne\dfrac 23$），从而所求轨迹方程为 $$3y=(3x-1)^2\iff y=\dfrac 13(3x-1)^2,$$ 其中 $x\ne \dfrac 23$．