设整数 a1,a2,⋯,a2019 满足 1=a1⩽a2⩽⋯⩽a2019=99.记f=(a21+a22+⋯+a22019)−(a1a3+a2a4+a3a5+⋯+a2017a2019),求 f 的最小值 f0,并确定使 f=f0 成立的数组 (a1,a2,⋯,a2019) 的个数.
答案 f0=7400,确定使 f=f0 成立的数组 (a1,a2,⋯,a2019) 的个数为 C481968.
解析 根据题意,有2f=a21+a22+a22018+a22019+2017∑k=1(ak+2−ak)2⩾a1+a2+a22018+a22019+2017∑k=1(ak+2−ak)=a2017+a2018+(a2019−a2017)2+a22018+a22019⩾2a2017+(99−a2017)2+a22017+992=2(a2017−49)2+7400⩾7400,等号取得的条件为{a1=a2=1,a3−a1,a4−a2,⋯,a2019−a2017∈{0,1},a2018=a2017=49,因此 f 的最小值 f0=7400.使 f=f0 成立的数组 (a1,a2,⋯,a2019) 的个数即将 2018 个小球放入编号 1,2,⋯,49 的 49 个盒子中且每个盒子至少放 2 个小球的方法数,为 C481968.