每日一题[1730]步步高

设整数 a1,a2,,a2019 满足 1=a1a2a2019=99.记f=(a21+a22++a22019)(a1a3+a2a4+a3a5++a2017a2019),f 的最小值 f0,并确定使 f=f0 成立的数组 (a1,a2,,a2019) 的个数.

答案    f0=7400,确定使 f=f0 成立的数组 (a1,a2,,a2019) 的个数为 C481968

解析    根据题意,有2f=a21+a22+a22018+a22019+2017k=1(ak+2ak)2a1+a2+a22018+a22019+2017k=1(ak+2ak)=a2017+a2018+(a2019a2017)2+a22018+a220192a2017+(99a2017)2+a22017+992=2(a201749)2+74007400,等号取得的条件为{a1=a2=1,a3a1,a4a2,,a2019a2017{0,1},a2018=a2017=49,因此 f 的最小值 f0=7400.使 f=f0 成立的数组 (a1,a2,,a2019) 的个数即将 2018 个小球放入编号 1,2,,4949 个盒子中且每个盒子至少放 2 个小球的方法数,为 C481968

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