每日一题[1716]分解与展开

已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$．

1、求证：存在多项式 $P_n(x)$，满足 $\cos n\theta=P_n(\cos\theta)$．

2、将 $P_n(x)$ 在实数域上完全分解．

解析

1、显然 $P_1(x)=x$，根据二倍角公式，有 $P_2(x)=2x^2-1$．又当 $n\geqslant 3$ 时，有 $$\begin{split} P_n(\cos\theta)&=\cos((n-1)\theta+\theta)\\ &=\cos\theta\cos(n-1)\theta-\sin\theta\sin(n-1)\theta\\ &=\cos\theta \cos(n-1)\theta+\dfrac 12(\cos n\theta-\cos(n-2)\theta)\\ &=\cos\theta P_{n-1}(\theta)+\dfrac 12P_n(\cos\theta)-\dfrac 12P_{n-1}(\cos\theta),\end{split}$$ 化简可得 $$P_n(\cos\theta)=2\cos\theta P_{n-1}(\cos\theta)-P_{n-2}(\cos\theta),$$ 即 $$P_n(x)=2xP_{n-1}(x)-P_{n-2}(x),$$ 因此命题得证．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有 $\deg P_n(x)=n$，且 $P_n(x)$ 的最高次项系数为 $2^{n-1}$．考虑关于 $\theta$ 的方程 $\cos n\theta=0$，有 $$\theta=\dfrac{(2k+1)\pi}{2n},k\in\mathbb Z,$$ 考虑余弦函数为 $(0,\pi)$ 上单调递减，分别取 $k=0,1,2,\cdots,n-1$，可得 $P_n(x)$ 的 $n$ 个不同零点 $$\cos\dfrac{\pi}{2n},\cos\dfrac{3\pi}{2n},\cdots,\cos\dfrac{(2n-1)\pi}{2n},$$ 从而 $P_n(x)$ 在实数域上的完全分解为 $$P_n(x)=2^{n-1}\prod_{k=1}^n\left(x-\dfrac{(2k-1)\pi}{2n}\right).$$