每日一题[129] 正方形与抛物线

如图，将一张边长为$1$的正方形纸$ABCD$折叠，使得点$B$始终落在边$AD$上，则折起部分面积的最小值为_______．

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正确答案为$\dfrac 38$．

如图，设$AB'=x(0\leqslant x\leqslant 1)$，则由相似三角形可得

$$\dfrac{BE}{BB'}=\dfrac{\frac 12BB'}{AB},$$ 从而 $$BE=\dfrac{BB'^2}{2AB}=\dfrac 12\left(1+x^2\right),$$ 而继续由相似三角形可得 $$\dfrac{BE-CF}{BE}=\dfrac{BC}{BG},$$ 从而 $$BE-CF=BC\cdot\dfrac{BE}{BG}=x,$$ 解得 $$CF=\dfrac 12\left(1+x^2\right)-x,$$ 因此 $$\begin{split}S_{EBCF}&=\dfrac 12\left(BE+CF\right)\cdot BC\\&=\dfrac 12\left(x^2-x+1\right)\\&\geqslant \dfrac 38,\end{split}$$ 等号当且仅当$x=\dfrac 12$时取得．

注    若此题改为求线段$EF$划过的面积，则为中国科学技术大学（USTC）的一道自主招生题．

如图，作$B'K\perp BC$于$K$，连接$BK$，则不难得到$EF$始终与以$B$为焦点，直线$AD$为准线的抛物线相切于点$K$．这样我们就可以得到线段$EF$关于点$B'$形成的轨迹（Locus），如图所示．

由此，可以求得所求面积为

$$1-\dfrac 38-\int_0^1{\left(\dfrac 12-\dfrac 12x^2\right)}{\mathrm d}x=\dfrac{7}{24}.$$