每日一题[1697]均值不等式

已知 $x_1,x_2,\cdots,x_n$（$n\geqslant 2$）是正实数，且 $x_1x_2\cdots x_n>1$，求证：$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2>x_1+x_2+\cdots +x_n$．

解析    根据题意，有

$$\sum_{k=1}^n(x_k^2+1)\geqslant 2\sum_{k=1}^nx_k\geqslant \sum_{k=1}^nx_k+n\cdot (x_1x_2\cdots x_n)^{\frac 1n}>\sum_{k=1}^nx_k+n,$$ 因此原不等式得证．