已知 a1=1,an+1=√a2n+1a2019n,判断数列 {an} 的有界性.
答案 有下界(下确界为 1),没有上界.
解析 根据题意,有a2n+1−a2n=1a2019n,于是 {an} 单调递增,若 {an} 有上界 m,则 an⩽A(n∈N∗),从而a2n+1−a2n⩾1A2019⟹a2m−a21⩾m−1A2019,取 m=[1+A2021]+1,则a2m⩾1+A2⟹am>A,与 {an} 有上界矛盾. 综上所述,数列 {an} 有下界(下确界为 1),没有上界.
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