每日一题[1694]整除

已知 $a,b\in\mathbb N$，$\dfrac{a+1}{b}+\dfrac{b+1}a$ 为整数，求证：$a,b$ 没有大于 $\sqrt{a+b}$ 的公因数．

解析    根据题意，有

$$\dfrac{a+1}{b}+\dfrac{b+1}a\in\mathbb N^{\ast}\implies \dfrac{a^2+b^2+a+b}{ab}\in\mathbb N^{\ast} \implies ab\mid a^2+b^2+a+b,$$ 设 $(a,b)=d$，则 $d^2\mid ab$，从而 $$d^2\mid a^2+b^2+a+b\implies d^2\mid a+b\implies d\leqslant \sqrt{a+b},$$ 命题得证．