每日一题[1680]纵云梯

求方程 $2^x\cdot 3^y-5^z\cdot 7^w=1$ 的所有非负整数解 $(x,y,z,w)$．

答案    $(1,0,0,0),(3,0,0,1),(1,1,1,0),(2,2,1,1)$．

解析    由 $5 ^z\cdot 7^w+1$ 为偶数，可得 $x\geqslant 1$．

情形一    若 $y=0$，此时 $2^x-5^z\cdot 7^w=1$．

① 若 $z\neq 0$，则 $$2^x\equiv 1\pmod 5\implies 4\mid x\implies 3\mid 2^x-1,$$ 这与 $2^x-5^z\cdot 7^w=1$ 矛盾．

② 若 $z=0$，则 $2^x-7^w=1$． 当 $x=1,2,3$ 时，直接计算可得两组解 $(x,w)=(1,0),(3,1)$． 当 $x\geqslant 4$ 时，有 $7^w=2^x-1\equiv -1 \pmod{16}$，但 $$7^w\equiv \begin{cases} 1 \pmod{16},&2\mid w,\\ 7\pmod{16},&2\nmid w,\end{cases}$$ 矛盾． 所以当 $y=0$ 时全部非负实数解为 $(x,y,z,w)=(1,0,0,0),(3,0,0,1)$．

情形二    若 $y\geqslant 1$ 且 $x=1$，此时 $2\cdot 3^y-5^z\cdot 7^w=1$，有 $$5^z\cdot 7^w=2\cdot 3^y-1\implies (-1)^z\equiv -1\pmod 3\implies z\equiv 1\pmod 2,$$ 进而 $$2\cdot 3^y=5^z\cdot 7^w+1\implies 2\cdot 3^y\equiv 1\pmod 5\implies y\equiv 1\pmod 4.$$

① 若 $w\neq 0$，则 $$2\cdot 3^y\equiv 1 \pmod 7\implies y\equiv 4\pmod 6,$$ 与 $y\equiv 1\pmod 4$ 矛盾．

② 若 $w=0$，则 $2\cdot 3^y-5^z=1$． 当 $y=1$ 时，$z=1$． 当 $y\geqslant 2$ 时，有 $$5^z\equiv -1\pmod 9\implies z\equiv 3\pmod 6 \implies 5^3+1\mid 5^z+1,$$ 所以 $7\mid 5^z+1$，这与 $5^z+1=2\cdot 3$ 矛盾．

情形三    若 $y\geqslant 1$ 且 $x\geqslant 2$．此时 $$\begin{cases} 5^z\cdot 7^w\equiv -1\pmod 4,\\ 5^z\cdot 7^w\equiv -1\pmod 3,\end{cases}\implies \begin{cases} (-1)^w\equiv -1\pmod 4,\\ (-1)^z\equiv -1\pmod 3,\end{cases}$$ 因此 $z,w$ 都是奇数，从而 $$2^x\cdot 3^y=5^z\cdot 7^w+1\equiv 35+1\equiv 4\pmod 8,$$ 所以 $x=2$，原方程变为 $4\cdot 3^y-5^z\cdot 7^w=1$，其中 $z,w$ 都是奇数．由此可知 $$\begin{cases} 4\cdot 3^y\equiv 1\pmod 5,\\ 4\cdot 3^y\equiv 1\pmod 7,\end{cases}\implies y\equiv 2\pmod{12},$$ 设 $y=12m+2$（$m\in\mathbb N$），于是 $$5^z\cdot 7^w=4\cdot 3^y-1=(2\cdot 3^{6m+1}-1)(2\cdot 3^{6m+1}+1),$$ 所以 $$2\cdot 3^{6m+1}-1=5^p\cdot 7^q,$$ 其中 $p,q \in\mathbb N$． 根据对情形二的讨论，必有 $$(6m+1,p,q)=(1,1,0)\implies (x,y,z,w)=(2,2,1,1).$$

综上所述，所求的非负整数解为 $(x,y,z,w)=(1,0,0,0),(3,0,0,1),(1,1,1,0),(2,2,1,1)$．